条件付き確率とベイズの定理

30秒で思い出す

**条件付き確率は「ある条件が分かった後で、対象を絞って考える確率」**です。

P(A | B)

は、

Bが起きたと分かっているときに、Aが起きている確率

を表します。

ベイズの定理は、

P(A | B)
= P(B | A) × P(A) / P(B)

のように、「原因から結果」の確率を使って「結果から原因」の確率を求めるときに使います。

条件が付くと、見る全体が変わる

100件のアクセスのうち、

• 社内ネットワークからのアクセス: 40件
• そのうち管理画面へのアクセス: 10件

だったとします。

「社内ネットワークからのアクセスだった」という条件が分かっているなら、見る全体は100件ではなく40件です。

したがって、

P(管理画面 | 社内)
= 10 / 40
= 0.25

です。

条件付き確率では、条件に合うものだけに母集団を絞り直すことが重要です。

条件付き確率の式

事象AとBについて、Bが起きる確率が0でないとき、

P(A | B)
= P(AかつB) / P(B)

です。

分母が P(B) になるのは、「Bが起きた世界だけを見ている」からです。

たとえば、

• 全アクセスの40%が社内
• 全アクセスの10%が「社内かつ管理画面」

なら、

P(管理画面 | 社内)
= 0.10 / 0.40
= 0.25

です。

P(A|B)とP(B|A)は別物

条件付き確率で最も重要な注意点の1つです。

P(A | B)

と

P(B | A)

は、一般には同じではありません。

たとえば、

• 「攻撃だったときにアラートが出る確率」
• 「アラートが出たときに本当に攻撃である確率」

は別の値です。

前者が高くても、そもそも攻撃自体が非常に少なければ、アラートの多くが誤検知ということもあります。

乗法定理とのつながり

前のKnowledgeで学んだ乗法定理は、

P(AかつB)
= P(A) × P(B | A)

でした。

同じ同時確率を、

P(AかつB)
= P(B) × P(A | B)

とも表せます。

つまり、

P(A) × P(B | A)
= P(B) × P(A | B)

です。

これを P(A | B) について整理すると、ベイズの定理になります。

ベイズの定理

ベイズの定理は、

P(A | B)
= P(B | A) × P(A) / P(B)

です。

意味を言葉にすると、

結果Bが観測されたときに原因Aだった確率
=
原因Aなら結果Bになる確率
×
そもそも原因Aである確率
÷
結果B全体の確率

です。

P(B)をどう求める？

Bが、

• Aが起きた場合
• Aが起きなかった場合

の両方から起こり得るなら、

P(B)
=
P(B | A) × P(A)
+
P(B | Aではない) × P(Aではない)

と分けて考えられます。

これは「Bが起こる経路」を漏れなく足していると考えると分かりやすくなります。

ベイズの例

アクセスの1%が攻撃だとします。

検知システムは、

• 攻撃なら90%でアラートを出す
• 攻撃でなくても5%で誤ってアラートを出す

とします。

10000件あると考えると、

攻撃: 100件
  → アラート: 90件

正常: 9900件
  → 誤アラート: 495件

アラートは合計585件です。

そのうち本当に攻撃なのは90件なので、

P(攻撃 | アラート)
= 90 / 585
≈ 0.154

約15.4%です。

検知率が90%でも、「アラートが出たら90%の確率で攻撃」という意味ではありません。

元々の攻撃率1%という事前確率が結果に大きく影響します。

事前確率と事後確率

ベイズの定理では、次の見方をすると整理しやすくなります。

• 事前確率: 観測する前の確率
• 事後確率: 観測した情報を反映した後の確率

先ほどの例では、

攻撃の事前確率 = 1%

でした。

「アラートが出た」という情報を反映すると、

攻撃の事後確率 ≈ 15.4%

へ更新されます。

ベイズの定理は、新しい情報を得た後に確率を更新する考え方とも捉えられます。

どこで使う？

条件付き確率やベイズの考え方は、観測結果から原因や状態を推定するときに使います。

ITでは、たとえば、

• セキュリティアラートから実際の攻撃可能性を考える
• 監視システムの検知結果を評価する
• 障害メッセージから原因候補を絞る
• フィルタや分類器の結果を解釈する
• 過去の発生率と新しい観測を組み合わせる

といった場面につながります。

よくある勘違い

P(A|B)とP(B|A)は同じ？

違います。

条件の向きが違うため、一般には別の値です。

検知率が90%なら、アラートの90%は本物？

違います。

元々の対象の発生率と、誤検知率も必要です。

ベイズの定理は新しい確率を勝手に作る？

違います。

事前確率、条件付き確率、観測された結果を組み合わせて、条件を反映した確率へ更新します。

条件付き確率では全体の件数をそのまま分母にする？

違います。

条件Bが付いたら、Bに該当する範囲へ母集団を絞ります。

このKnowledgeで扱わないこと

ここでは、条件付き確率の基本計算とベイズの定理を扱います。

次は後続Knowledgeへ分けます。

• ベイズ推定の高度な理論
• 連続分布を使ったベイズ計算
• 確率分布の詳細
• 期待値
• マルコフ過程
• 統計的推定や仮説検定

ここまで分かればOK

• P(A | B) の意味を説明できる
• 条件で母集団を絞って条件付き確率を計算できる
• P(A | B) と P(B | A) を区別できる
• 乗法定理からベイズの定理へのつながりを説明できる
• 事前確率・検知率・誤検知率から事後確率を求められる