確率の基本

30秒で思い出す

確率は「ある出来事がどれくらい起こりやすいか」を0から1の数で表すものです。

• 0 → 起こらない
• 1 → 必ず起こる
• 0と1の間 → 起こる可能性がある

すべての結果が同じくらい起こりやすいときは、

確率 = 条件に合う結果の数 / 全結果の数

で求められます。

たとえば公平な6面サイコロで偶数が出る確率は、

3 / 6 = 1 / 2

です。

超やさしく理解

確率を考えるときは、まず「何が起こり得るか」を全部整理します。

公平な6面サイコロなら、

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

が考えられる全結果です。

この全体を標本空間と呼びます。

その中で「偶数が出る」という条件に合う結果は、

{2, 4, 6}

です。

このような「注目する出来事」を事象と呼びます。

全結果が同様に確からしい、つまり同じ確率で起こるなら、

P(偶数) = 3 / 6 = 1 / 2

と求められます。

確率を数え上げで求める

前のKnowledgeで学んだ場合の数は、確率を求めるときによく使います。

全結果が同じ確率で起こる場合、

P(A) = Aが起こる場合の数 / 全体の場合の数

です。

重要なのは、「結果が全部同じくらい起こりやすい」という前提があるときに使える式だということです。

偏ったサイコロのように結果ごとの起こりやすさが違う場合は、単純に個数だけを割ってはいけません。

余事象

事象Aが「起こらない」事象を、Aの余事象と呼びます。

Aが起こるか起こらないかのどちらかなので、

P(Aではない) = 1 - P(A)

です。

たとえば、障害が起こる確率が0.1なら、障害が起こらない確率は、

1 - 0.1 = 0.9

です。

「少なくとも1回起こる確率」を直接数えにくいときに、逆の「1回も起こらない確率」を求めて1から引く方法がよく使われます。

加法定理

AまたはBが起こる確率を考えます。

AとBが同時に起こる可能性がある場合は、単純に足すと重複分を二重に数えてしまいます。

一般には、

P(AまたはB)
= P(A) + P(B) - P(AかつB)

です。

たとえば、

• Aが起こる確率: 0.4
• Bが起こる確率: 0.3
• AとBが同時に起こる確率: 0.1

なら、

0.4 + 0.3 - 0.1 = 0.6

です。

AとBが絶対に同時には起こらない場合は、重複がないので、

P(AまたはB) = P(A) + P(B)

と簡単になります。

同時確率

AとBが両方起こる確率を同時確率と考えます。

記号では、

P(AかつB)

と表せます。

2つの事象が独立、つまりAが起きたことがBの起こりやすさに影響しないなら、

P(AかつB) = P(A) × P(B)

です。

たとえば、互いに独立な2台の機器で、

• 機器Aが正常である確率: 0.9
• 機器Bが正常である確率: 0.8

なら、両方とも正常である確率は、

0.9 × 0.8 = 0.72

です。

乗法定理

一般の乗法定理は、Aが起きたという条件の下でBが起こる確率を使って、

P(AかつB) = P(A) × P(B | A)

と表します。

P(B | A) は「Aが起きたという条件でBが起こる確率」です。

この条件付き確率の求め方や、そこからベイズの定理へつなげる考え方は次のKnowledgeで扱います。

AとBが独立なら、

P(B | A) = P(B)

なので、

P(AかつB) = P(A) × P(B)

になります。

どこで使う？

確率の考え方は、不確実な出来事を数量として扱うときに使います。

ITでは、たとえば、

• 機器故障の起こりやすさ
• 複数部品が同時に正常である確率
• ランダムな試行の結果
• 監視やテストで異常を検出する可能性
• 障害が少なくとも1回起こる可能性

などを考える基礎になります。

よくある勘違い

条件に合う数を全体の数で割れば、いつでも確率になる？

違います。

その数え方は、全結果が同じ確率で起こる場合に使えます。結果ごとの起こりやすさが違う場合は、それぞれの確率を考える必要があります。

「AまたはB」はP(A)+P(B)でいい？

AとBが同時に起こる可能性があるなら、そのまま足すと重複を二重に数えます。

P(A) + P(B) - P(AかつB)

と考えます。

「AかつB」はいつでもP(A)×P(B)？

違います。

そのまま掛けられるのは、AとBが独立な場合です。一般には条件付き確率を使います。

確率0なら絶対に起こらない？

離散的な基本問題ではそのように扱えますが、連続的な確率分布では「特定の1点の確率が0」でも、その値が数学的に不可能という意味とは限りません。

このKnowledgeでは離散的な基本問題を中心に扱い、確率分布の詳細は後続Knowledgeへ分けます。

このKnowledgeで扱わないこと

ここでは、標本空間・事象・基本的な確率・余事象・加法定理・同時確率・乗法定理の入口を扱います。

条件付き確率の具体的な計算、ベイズの定理、確率分布、期待値、マルコフ過程、統計分析は後続Knowledgeへ分けます。

ここまで分かればOK

• 標本空間と事象の意味を説明できる
• 同様に確からしい結果から基本確率を求められる
• 余事象を使って確率を求められる
• AまたはBの確率で重複を引く理由を説明できる
• 独立な事象の同時確率を掛け算で求められる
• 一般の乗法定理では条件付き確率が必要だと分かる