命題と真偽

30秒で思い出す

**命題は「真か偽かをはっきり決められる文」**です。

たとえば、

• 「8は偶数である」→ 真
• 「9は偶数である」→ 偽

のように、内容が正しいか間違っているかを判定できる文は命題です。

一方で、

• 「今日は何曜日ですか？」
• 「xは5より大きい」

のように、そのままでは真偽を1つに決められない文は、命題として扱えません。

超やさしく理解

命題は、書かれた内容に必ず ○か×を付けられる判定カードのようなものだと考えると分かりやすいです。

たとえば、

P: 10は5より大きい

なら、Pは真です。

Q: 3は偶数である

なら、Qは偽です。

この「真」「偽」の値を真理値と呼びます。

正確にはどういうもの？

命題は、内容の真偽が客観的に定まる文です。

命題Pが正しいとき、

P = 真

間違っているとき、

P = 偽

と考えます。

ここで大切なのは、「文として自然か」ではなく、真か偽かを決められるかです。

命題になる文

次のような文は命題です。

2 + 3 = 5

真です。

7は偶数である

偽です。

真でも偽でも、真偽を決められるなら命題です。

「正しい文だけが命題」ではありません。

命題にならない文

質問

今日は何曜日ですか？

質問なので、文そのものに真・偽を割り当てられません。

命令

電源を切ってください。

命令なので、真か偽かを判定する対象ではありません。

値が決まっていない文

x > 3

xの値が決まっていないので、このままでは真か偽かを1つに決められません。

ただし、

x = 5 のとき x > 3

なら真と判定できます。

真理値

命題が持つ「真」または「偽」の値を真理値と呼びます。

情報処理では、真・偽を次のように表すこともあります。

真 = TRUE
偽 = FALSE

場面によっては1と0で対応付けることもありますが、「命題の真理値」と「数値そのもの」は同じ意味ではありません。

まずは、条件を評価した結果が真か偽かに決まると理解すれば十分です。

条件と命題

プログラムやシステムでは、条件を具体的な値に対して評価すると命題として扱えます。

たとえば、

P: CPU使用率が80%以上である

という条件があり、実際のCPU使用率が85%ならPは真です。

73%ならPは偽です。

このように、条件に具体的な値が与えられると、真偽を判定できます。

どこで使う？

命題と真偽は、コンピュータが「条件を満たすか」を判断するための基礎です。

たとえば、

• ログイン条件を満たすか
• エラー状態か
• 検索条件に一致するか
• プログラムのif条件が成立するか

といった判定は、最終的に真か偽かとして扱えます。

次に学ぶ論理演算では、複数の命題をAND / OR / NOTなどで組み合わせます。

よくある勘違い

偽の文は命題ではない？

違います。

真でも偽でも、真偽をはっきり決められるなら命題です。

文章なら全部命題？

違います。

質問、命令、値が決まっていない条件などは、そのままでは真偽を決められないため命題ではありません。

TRUEは必ず数値1？

TRUE / FALSEを1 / 0に対応付ける場面はありますが、命題の真理値そのものと数値は同一ではありません。

表現方法と意味を分けて考えます。

このKnowledgeで扱わないこと

ここでは、命題と真理値の基本だけを扱います。

AND / OR / NOT、排他的論理和、真理値表、ド・モルガンの法則、論理回路は後続Knowledgeへ分けます。

ここまで分かればOK

• 命題が「真か偽かを決められる文」だと説明できる
• 真でも偽でも命題になり得ると分かる
• 質問・命令・値未確定の文が命題にならない理由を説明できる
• 具体的な条件に値を当てはめて真偽を判断できる
• 真理値が真 / 偽の値を表すと理解できる