集合と集合演算

30秒で思い出す

**集合は「ある条件に当てはまるものを、ひとまとまりとして扱う考え方」**です。

たとえば、

A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5}

という2つの集合があるとき、

• AとBを全部合わせる → 和集合
• AとBの両方に入るものだけ取る → 積集合
• 決めた全体の中からAに入らないものを取る → 補集合

と考えます。

超やさしく理解

集合は「条件に合うものを入れる箱」だと考えると分かりやすいです。

たとえば「偶数だけを入れる箱」を作れば、2、4、6…がその集合の要素になります。

集合Aに2が入っていることは、

2 ∈ A

と表します。

逆に、5がAに入っていないなら、

5 ∉ A

です。

正確にはどういうもの？

集合は、対象を要素としてまとめたものです。

A = {1, 2, 3}

なら、1、2、3が集合Aの要素です。

同じ要素を何度書いても、集合では1つとして扱います。また、通常は並ぶ順番そのものには意味を持たせません。

部分集合

集合Aのすべての要素が集合Bにも含まれているとき、AはBの部分集合です。

A = {1, 2}
B = {1, 2, 3}

A ⊆ B

「Aに入っているものは、すべてBにも入っている」と読めればOKです。

和集合

AまたはBの少なくともどちらかに入っている要素を集めたものが和集合です。

A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5}

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}

両方にある3と4を2回書く必要はありません。

積集合

AとBの両方に入っている要素を集めたものが積集合です。

A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5}

A ∩ B = {3, 4}

「共通しているものだけ」と考えると分かりやすくなります。

補集合

補集合を考えるときは、まず全体として何を対象にするかを決めます。この全体を全体集合と呼びます。

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 2, 3, 4}

全体集合Uの中でAに入っていない要素は、

Aの補集合 = {5, 6}

です。

補集合は「A以外のすべて」ではなく、あらかじめ決めた全体集合の中でAに入らないものだと考えることが大切です。

ベン図で考える

ベン図は、集合を円などの領域で表して関係を見る方法です。

• 和集合 → AとBの円を合わせた全体
• 積集合 → AとBが重なった部分
• 補集合 → 全体集合のうちAの円の外側

記号だけで迷うときは、「どの領域を選ぶのか」に置き換えると整理しやすくなります。

どこで使う？

集合の考え方は、条件に合うデータを分類したり、複数の条件を組み合わせたりするときの基礎になります。

たとえば、

• 条件Aまたは条件Bに合うデータ
• 条件Aと条件Bの両方に合うデータ
• 条件Aに合わないデータ

といった考え方は、検索、データベース、プログラムの条件判定などにもつながります。

よくある勘違い

和集合は共通部分だけ？

違います。共通部分だけなのは積集合です。

和集合は、AまたはBのどちらか一方だけに入る要素も含みます。

補集合は世界中の「Aではないもの」？

違います。補集合は、決めた全体集合の中でAに入っていない要素です。

部分集合は要素が1つ少ない集合？

要素数では決まりません。Aのすべての要素がBに含まれていれば、AはBの部分集合です。

このKnowledgeで扱わないこと

ここでは集合の表現と基本的な集合演算を扱います。

命題の真・偽、論理演算、真理値表、ド・モルガンの法則、論理回路は後続Knowledgeへ分けます。

ここまで分かればOK

• 集合と要素の意味を説明できる
• 部分集合が何を表すか判断できる
• 和集合と積集合を求められる
• 全体集合を確認して補集合を求められる
• ベン図で和集合・積集合・補集合の領域を読み取れる